Teilung eines Intervalls (harmonisch, arithmetisch, geometrisch)

Johann Philipp Kirnberger unterscheidet drei Arten, einen Ton zwischen zwei gegebene Töne zu setzen und damit ein Intervall zu teilen: die geometrische, die arithmetische und die harmonische Teilung.

Er bezieht sich dabei auf die antike griechische Mathematik und Musiktheorie. Bereits Archytas von Tarent unterschied im 4. Jahrhundert v. Chr. das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel und wandte diese Proportionen auf musikalische Intervalle an. Die Lehre wurde später unter anderem über Euklid und Boethius weitergegeben und von Kirnberger in seiner Kunst des reinen Satzes in der Musik aufgegriffen.

Man stelle sich die Töne durch die Längen ihrer Saiten vor: Saite A hat die Länge $2$, Saite C die Länge $1$. Die beiden Töne stehen also im Verhältnis $2:1$ und bilden eine Oktave, etwa $c-c^{\prime }$.

Möchte man zwischen diese beiden Töne einen dritten Ton B setzen, so gibt es drei verschiedene Möglichkeiten, eine „Mitte“ zwischen den beiden Saitenlängen zu bestimmen.

Arithmetische Teilung

Die arithmetische Teilung verwendet den gewöhnlichen Mittelwert der beiden Zahlen. Man addiert beide Saitenlängen und teilt die Summe durch $2$:

Die drei Saitenlängen lauten dann:

Die Abstände der Saitenlängen sind auf beiden Seiten gleich:

Da die Tonhöhe umgekehrt proportional zur Saitenlänge ist, entspricht die mittlere Saite dem Frequenzverhältnis

zum tieferen Ton. Der mittlere Ton ist also die Quarte, etwa $f$ innerhalb der Oktave $c-c^{\prime }$.

Die arithmetische Teilung zerlegt die Oktave somit in Quarte und Quinte.

Harmonische Teilung

Bei der harmonischen Teilung sind nicht die absoluten Unterschiede der Saitenlängen gleich. Stattdessen ist der Abstand der mittleren Saite von jeder äußeren Saite jeweils derselbe Bruchteil dieser äußeren Saitenlänge.

Für die Saitenlängen $2$ und $1$ liegt das harmonische Mittel bei:

Die drei Saitenlängen sind also:

Kirnbergers Beschreibung lässt sich hier unmittelbar erkennen. Die Differenz zwischen $2$ und $\frac{4}{3}$ beträgt:

Das ist ein Drittel von $2$:

Die Differenz zwischen $\frac{4}{3}$ und $1$ beträgt:

und dies ist wiederum ein Drittel von $1$:

Die mittlere Zahl $\frac{4}{3}$ ist also um ein Drittel kleiner als $2$ und um ein Drittel größer als $1$.

Musikalisch ergibt sich für den Abstand vom tieferen Ton zur mittleren Saite:

Das entspricht einer Quinte. Die harmonische Teilung zerlegt die Oktave somit in Quinte und Quarte.

Arithmetische und harmonische Teilung liefern also dieselben beiden konsonanten Intervalle, jedoch in umgekehrter Reihenfolge:

Geometrische Teilung

Die geometrische Teilung unterscheidet sich grundsätzlich von den beiden anderen Verfahren. Hier soll der mittlere Ton B so liegen, dass die beiden Intervalle genau gleich groß sind.

Dazu muss zwischen den drei Saitenlängen dieselbe Proportion bestehen:

Das bedeutet:

und daraus folgt:

also:

Die drei Saitenlängen lauten damit:

Für die beiden Teilintervalle gilt:

und

Beide Intervalle sind also exakt gleich groß:

Die geometrische Teilung ist damit diejenige Teilung, welche die Oktave tatsächlich in zwei gleiche musikalische Intervalle zerlegt.

In der heutigen gleichstufigen Stimmung entspricht diese Mitte dem Tritonus, also beispielsweise $fis/ges$ innerhalb der Oktave $c-c^{\prime }$. Jedes der beiden Teilintervalle umfasst genau eine halbe Oktave bzw. $600$ Cent.

Warum sagt Kirnberger, eine solche Zahl könne nicht gefunden werden?

Kirnberger schreibt über die geometrische Teilung, dass bei einer Oktave keine entsprechende mittlere Proportionalzahl gefunden werden könne. Das bedeutet nicht, dass die geometrische Mitte mathematisch nicht existiert.

Das Problem liegt vielmehr darin, dass $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}21356$ eine irrationale Zahl ist. Sie lässt sich nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen.

Die traditionelle antike Musiktheorie beschreibt musikalische Intervalle dagegen durch rationale Zahlenverhältnisse, etwa:

Innerhalb dieser Zahlenwelt lässt sich zwischen $2$ und $1$ keine rationale Zahl B finden, für die gilt:

Denn eine solche Zahl müsste notwendig $\sqrt{2}$ sein.

Gerade darin besteht die Besonderheit der geometrischen Teilung: Sie halbiert die Oktave musikalisch exakt, führt dabei aber aus der Welt der ganzzahligen bzw. rationalen Proportionen heraus.

Übersicht

Für eine Oktave mit den Saitenlängen $2:1$ ergeben sich somit drei verschiedene Arten der Mitte: